Путевской Виктор (vipernn) wrote,
Путевской Виктор
vipernn

Когда 10 = 16.

Комментариями к этому посту навеяло.

Все мы привыкли к десятичной системе счисления. Более-менее известна двоичная система. Программисты и прочие айтишники заведомо знают шестнадцатеричную и, как правило, еще и восьмеричную. А между тем, системы счисления (позиционные) могут иметь любое целочисленное основание b > 1. Тогда любое целое число без знака x представляется конечной линейной комбинацией степеней числа b

x = a0·b0 + a1·b1 + an·b2 +...+ aN-1·bN-1

Здесь:
k - разряд;
a0 - aN-1 - цифры, для которых для любого k должно выполняться неравенство 0 <= ak < b;
bk - весовые коэффициенты разряда или базисы.

Тогда, число число x записывается последовательностью цифр, расположенных по убыванию разрядов слева направо:

x = aN-1aN-2...a0

Для примера рассмотрим традиционную десятичную систему счисления.
Базисы:
b0 = 100 = 1
b1 = 101 = 10
b2 = 102 = 100
b3 = 103 = 100
...

Цифры:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Тогда, например, число 123 будет представлено как
123 = 1·102 + 2·101 + 3·100 = 1·100 + 2·10 + 3·1

Аналогично и для других систем счисления. Для записей отрицательных чисел используем знак "-". Для записи действительных чисел используем разделитель - запятую или точку, за которым продолжаем последовательность чисел для базисов с отрицательными степенями - b-1, b-2, ... b-N.

Для систем счисления с b < 10 используются традиционные "арабские" цифры, для систем счисления с b > 10 в качестве цифр используются дополнительные символы. Например, для шестнадцатеричной системы счисления используются латинские буквы A, B, C, D, E и F, обозначающие, соответственно, 10, 11, 12, 13, 14 и 15.

Десятичная система счисления понятна и привычна. А где же применяются и откуда взялись остальные?

Двоичная система счисления - язык компьютеров и прочих устройств, производящих вычисления. Две цифры - 0 и 1, позволяют свести работу вычислительных устройств к наличию (1) и отсутствию (0) сигнала. Это увеличивает надежность и сводит все математически операции к простейшим арифметическим действиям на основе двух цифр.

Шестнадцатеричная система счисления как и двоичная обитает в среде компьютеров. Но если двоичная это уровень триггерной логики (да/нет, включено/выключено), то шестнадцатеричная это уже уровень системы в целом и языков программирования. Все дело в том, что с минимальной единицей информации, то есть битом, работать неудобно. Поэтому минимальной адресуемой единицей памяти является байт, состоящий из 8 бит. А байт удобнее всего представлять двумя шестнадцатеричными цифрами.

Восьмеричная система счисления также используется в различных цифровых устройствах, но имеет меньшее распространение. До начала 70-х годов ареал распространения восьмеричной системы был куда как большим, но более удобная шестнадцатеричная система к настоящему времени существенно потеснила восьмеричную.

Третичная система счисления. Штука довольно таки экзотичная. Но имеет применение для обозначения состояний, когда простых да и нет недостаточно, а нужно еще некое третье состояние. Например, "установлено", "не установлено" и "не определено". В качестве цифр обычно используются -1, 0 и 1.

Двенадцатеричная система. Система счисления более чем древняя и возникла, предположительно, в Шумере. Система счисления возникла предположительно (да, опять предположительно) от числа фаланг на пальцах. Надо сказать, что число 12 является более удобным в качестве основания в отличии от 10. Связано это с тем, что 12 нацело делится на 2, 4, 3 и 6. В то время как 10 только лишь на 2 и 5. В чистом виде двенадцатеричная система практически нигде не сохранилась, но её следы видны повсюду. Стандартная дробь в Риме, унция - 1/12 чего-либо. 1 пенс = 1/12 шиллинга. 1 дюйм = 1/12 фута. Сюда же относится счет дюжинами - 1 дюжина = 12 штук, 1 гросс = 12 дюжин = 144 штуки, 1 масса = 12 гроссов = 144 дюжины = 1 728 штук. Ну и 12 часов - это тоже остатки двенадцатеричной системы.

Шестидесятиричная система счисления. Наряду с двенадцатеричной уходит корнями в глубокую древность к шумерам и вавилонянам. От вавилонян она вместе с астрономическими таблицами попала к грекам. Позже ею пользовались арабы, от них система вновь попала в Европу, где в основном использовалась для представления дробей. В свою очередь дроби эти использовались для представления астрономических координат, исчисляемых в углах. Такое представление углов сохранилось до наших дней. Как известно, один градус состоит из 60 минут, а минута из 60 секунд. Интересно, что деление угла на секундах ранее не останавливалось. После секунд шли терции, за ними кварты, квинты и так далее.

На этом пока все. Продолжение воспоследует, и оно будет довольно таки неожиданным.

З.Ы. Так когда же 10 = 16? Элементарно, это возможно в том случае, когда они представлены в разных системах счисления: 1016 = 1610. То есть 16 в десятичной системе в шестнадцатеричной представляется как 10.
Tags: интересное, математика
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 0 comments