Путевской Виктор (vipernn) wrote,
Путевской Виктор
vipernn

Немного механики.

В процессе поиска информации для написания поста о "Салют-7" и "Space Shuttle" всплыл довольно таки интересный момент. Оказывается, для схода с орбиты достаточно уменьшить горизонтальную скорость всего лишь примерно на 90 м/с. При этом первая космическая в окрестностях Земли равна примерно 8 км/с. Такое малое изменение скорости с таким большим эффектом является парадоксальным лишь на первый взгляд. Но стоит чуть задуматься и все встает на свои места.

Предупреждение: приведенные ниже уравнения и математические выкладки являются крайне упрощенным изложением механики полета в околоземном пространстве и дают лишь приближенное представление о движении космических кораблей в околоземном пространстве.

Итак. Каким законам механики подчиняется полет спутника в околоземном пространстве при условии нахождения в свободном полете (двигатели не используются)? Если спутник находится на круговой орбите, то на него действует сила тяжести, а компенсируется она центробежной силой. Для того, чтобы спутник вращался вокруг небесного тела по круговой орбите, его горизонтальная скорость должна быть равна круговой скорости, называемой также первой космической. Её величина вычисляется из условия равенства центробежной силы и силы тяжести.
Центробежная силушка

FЦ = m·V2/R,

где
m – масса спутника;
V – горизонтальная скорость спутника;
R – радиус орбиты, которая в свою очередь равна R = R0 + h,

где
R0 – радиус небесного тела;
h – высота полета.

Силушка тяжести

FT = G·m·M/R2,

где
M – масса небесного тела;
G – гравитационная постоянная.
Приравнивая силушки получаем

VКР = (G·M/R)1/2

Поскольку масса небесного тела и гравитационная постоянная неизменны, то можно ввести коэффициент K = G·M и переписать формулу в упрощенном виде

VКР = (K/R)1/2

Гравитационная постоянная G = 6.67384·10−11. Если в качестве небесного тела рассматривать Землю, то M = 5.9726·1024 кг. Тогда

K = G·M = 6.67384·10-11·5.9726·1024 =3.986·1014.

Круговая скорость зависит от высоты. При нулевой высоте для Земли, с учетом R0 = 6 371 000 м, получаем

VКР = (3.986·1014/6 371 000)1/2 = 7 909.8 м/с.

На низких орбитах, а именно на таких орбитах осуществляются пилотируемые полеты, первая космическая скорость изменяется несущественно. Так, например, на высоте 300 км, она будет равна 7 730 м/с. То есть разность составляет менее 200 м/с. Уже этого факта достаточно, чтобы понять - уменьшение скорости на 90 м/с достаточно велико для существенного изменения орбиты. Но продолжим наши изыскания.

Если спутник движется быстрее или медленнее круговой скорости на данной высоте, то силы, и, следовательно, ускорения не будут скомпенсированы. Таким образом спутник получит некоторое вертикальное ускорение

aY = V2/R – K/R2.

Наличие вертикального ускорения приведет к появлению вертикальной скорости U. А поскольку спутник вращается вокруг центра небесного тела, то сочетание вращения и перемещения вдоль радиуса вращения приводит к появлению силы Кориолиса.

FK = m·U·V/R.

За счет силы Кориолиса спутник получит горизонтальное ускорение

aX = –U·V/R.

Соответственно все это приведет к изменению горизонтальной скорости и так далее. Следовательно, расчет движения спутника, в случае когда его скорость не равна круговой необходимо проводить путем малых приращений постоянно изменяющихся параметров. На каждом i-м шаге решаем несколько уравнений:

aX = –Ui·Vi/Ri;
aY = Vi2/Ri – K/Ri2;
Vi+1 = Vi + aX·dT;
Ui+1 = Ui + aY·dT;
Fii+1 = Fii + (Vi + Vi+1)/2·R·dT;
Ri+1 = Ri + (Ui + Ui+1)/2·dT;
hi+1 = Ri+1 - R0.

Здесь Fi - угловая координата спутника в радианах. Вычисление новых значений скоростей и координат спутника ведется через величину dT - шаг по времени. При малом dT решение будет достаточно точным.

У меня при dT = 0.1 с (примерно 52 000 итераций для получения значений параметров для полного эллипса), исходной высоте полета 300 км и уменьшении скорости на 90 м/с получилось, что перигей получившейся орбиты не просто находится в плотных слоях атмосферы, а расположен практически на поверхности Земли. То есть столь малого изменения скорости более чем достаточно для схода с орбиты. Интересно, что при больших значениях dT, перигей попадал под поверхность Земли. Так что величину шага приращения надо выбирать очень малой.

З.Ы. Если как следует пораскинуть мозгами, то можно представить приведенные выше уравнения в дифференциальном виде, проинтегрировать их и получить уравнения позволяющие вычислить все необходимые параметры без последовательных итераций. После чего можно сразу решить задачу определения параметров орбиты при заданном изменении горизонтальной скорости. Обратная задача - определение изменения горизонтальной скорости необходимое для получение орбиты с заданными параметрами также легко решается. Несомненно такая задача уже успешно решена, но искать это решение несколько лениво, а уж тем более лениво дифференцировать и интегрировать.
Tags: интересное, космос, математика
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 0 comments